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分部積分公式線上計算

分部積分公式線上驗證器，輸入 u(x) 與 dv(x)，用數值方法驗證 ∫u dv=uv−∫v du 兩端是否相等，附分部過程，適合分部積分法練習。

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∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du
支援 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘號不可省略，寫 2*x
支援 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘號不可省略，寫 2*x
積分下限
積分上限

📖 使用教學｜分部積分公式

一、定義
分部積分公式：∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。它把「乘積積分」拆成邊界項與一個更易積分的項。
二、符號說明
符號含義
u(x)被求導的因子
dv/dxv 的導數，即 dv=v′dx
v(x)由 dv 積出的反導數
[uv]ₐᵇ邊界項 uv(b)−uv(a)
∫v du化歸後的積分
三、本工具的原理
  • 輸入 u(x) 與 v′(x)=dv/dx；
  • 數值上把 v(x) 取為從 a 起的反導數 V(x)=∫ₐˣ v′(t)dt；
  • 分別計算左邊 ∫u·v′ 與右邊 [uv]−∫v·u′，驗證兩者相等。
四、操作步驟
  1. 在 u(x) 輸入求導因子，例如 x；
  2. 在 dv/dx 輸入 v 的導數，例如 exp(x)；
  3. 輸入 a、b，點擊「計算」，比較兩邊數值。
五、範例
例：∫₀¹ x eˣ dx。u=x，v′=eˣ。左邊=1；右邊=[x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e−(e−1)=1。兩邊相等。
六、易錯點
dv/dx 輸入的是 v 的導數，不是 v 本身；
u′ 用中心差分數值計算，遠離 0 與奇點更穩；
若兩邊差較大，檢查是否有奇點或區間過大。

❓ 常見問題｜分部積分公式

為什麼要驗證公式兩邊？
分部積分是恆等式，數值驗證能加深對「邊界項減去新積分」結構的理解。
dv/dx 應該輸入什麼？
輸入 v 的導數 v′，例如想取 v=eˣ 就輸入 exp(x)。
v(x) 是怎麼得到的？
數值上取 V(x)=∫ₐˣ v′(t)dt，即以 a 為基準的反導數。
兩邊為何不完全相等？
u′ 用差分、積分用自適應辛普森，誤差約 1e-9 量級，屬正常。
支援哪些函數？
+−*/^、sin cos exp log sqrt abs 等。